Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück

Zusammenfassung

Peano hat kürzlich in den Mathematischen Annalen² durch eine arithmetische Betrachtung gezeigt, wie die Punkte einer Linie stetig auf die Punkte eines Flächenstückes abgebildet werden können. Die für eine solche Abbildung erforderlichen Funktionen lassen sich in übersichtlicherer Weise herstellen, wenn man sich der folgenden geometrischen Anschauung bedient. Die abzubildende Linie — etwa eine Gerade von der Länge 1 — teilen wir zunächst in 4 gleiche Teile 1, 2, 3, 4 und das Flächenstück, welches wir in der Gestalt eines Quadrates von der Seitenlänge 1 annehmen, teilen wir durch zwei zu einander senkrechte Gerade in 4 gleiche Quadrate 1, 2, 3, 4 (Abb. 1). Zweitens teilen wir jede der Teilstrecken 1, 2, 3, 4 wiederum in 4 gleiche Teile, so daß wir auf der Geraden die 16 Teilstrecken 1, 2, 3, ..., 16 erhalten; gleichzeitig werde jedes der 4 Quadrate 1, 2, 3, 4 in 4 gleiche Quadrate geteilt und den so entstehenden 16 Quadraten werden dann die Zahlen 1, 2, ..., 16 eingeschrieben, wobei jedoch die Reihenfolge der Quadrate so zu wählen ist, daß jedes folgende Quadrat sich mit einer Seite an das vorhergehende anlehnt (Abb. 2). Denken wir uns dieses Verfahren fortgesetzt — Abb. 3 veranschaulicht den nächsten Schritt —, so ist leicht ersichtlich, wie man einem jeden gegebenen Punkte der Geraden einen einzigen bestimmten Punkt des Quadrates zuordnen kann. Man hat nur nötig, diejenigen Teilstrecken der Geraden zu bestimmen, auf welche der gegebene Punkt fällt. Die mit den nämlichen Zahlen bezeichneten Quadrate liegen notwendig in einander und schließen in der Grenze einen bestimmten Punkt des Flächenstückes ein. Dies sei der dem gegebenen Punkte zugeordnete Punkt. Die so gefundene Abbildung ist eindeutig und stetig und umgekehrt einem jeden Punkte des Quadrates entsprechen ein, zwei oder vier Punkte der Linie. Es erscheint überdies bemerkenswert, daß durch geeignete Abänderung der Teillinien in dem Quadrate sich leicht eine eindeutige und stetige Abbildung finden läßt, deren Umkehrung eine nirgends mehr als dreideutige ist.

Vgl. eine Mitteilung über denselben Gegenstand in den Verhandlungen der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte. Bremen 1890.